醫(yī)學統計學:第三節(jié)　正態(tài)性檢驗與兩方差的齊性檢驗

檢驗兩個樣本均數相差的顯著性時，我們先有假定：第一個樣本系從均數為μ₁、方差為σ₁²的正態(tài)總體中隨機取出，第二個樣本取自另一個類似的總體，相應的總體參數為μ₂與σ₂²，兩個總體的方差應相等即σ₁²=σ₂²，然后才可用上述方法進行顯著性檢驗，如果資料呈顯著偏態(tài)，或兩組方差相差懸殊，就要考慮用第十章非參數統計方法處理，或者通過變量代換，使上述條件得到滿足。那么，怎樣知道手頭的樣本資料是否服從正態(tài)分布及兩組方差是否相差顯著呢？要對手頭資料作正態(tài)檢驗及方差齊性檢驗。下面分別用實例介紹常用的正態(tài)性檢驗和兩方差齊性檢驗的方法。

一、正態(tài)性檢驗

有些統計方法只適用于正態(tài)分布或近似正態(tài)分布資料，如用均數和標準差描述資料的集中或離散情況，用正態(tài)分布法確定正常值范圍及用t檢驗兩均數間相差是否顯著等，因此在用這些方法前，需考慮進行正態(tài)性檢驗。

正態(tài)分布的特征是對稱和正態(tài)峰。分布對稱時眾數和均數密合，若均數-眾數>0，稱正偏態(tài)。因為有少數變量值很大，使曲線右側尾部拖得很長，故又稱右偏態(tài)；若均數-眾數<0稱負偏態(tài)。因為有少數變量值很小，使曲線左側尾部拖得很長，故又稱左偏態(tài)，見圖7.1(a)。

正態(tài)曲線的峰度叫正態(tài)峰，見圖7.1(b)中的虛線，離均數近的或很遠的變量值都較正態(tài)峰的多的稱尖峭峰，離均數近或很遠變量值都較正態(tài)峰的少的稱平闊峰。

圖7.1　頻數分布的偏度和峰度

正態(tài)性檢驗的方法有兩類。一類對偏度、峰度只用一個指標綜合檢驗，另一類是對兩者各用一個指標檢驗，前者有W法、D法、正態(tài)概率紙法等，后者有動差法亦稱矩法。現僅將W法與動差法分述于下；

1．W法　此法宜用于小樣本資料的正態(tài)性檢驗，尤其是n≤50時，檢驗步驟如下；

（1)將n個變量值X_i從小至大排隊編秩。

X₁<X₂<……<XN<p

見表7.5第（1)欄，表中第（2)、第（3)欄是變量值，第（2)欄由上而下從小至大排列，第（3)欄由下而上從小至大排列。第（4)欄是第（3)欄與第（2)欄之差。

（2)由附表5按n查出a_in系數列入表7.5第（5)欄，由于當n為奇數時，對應于中位數秩次的a_in為0，所以中位數只列出，不參加計算。第（6)欄是第（5)欄與第（4)欄的乘積。

（3)按式（7.8)計算W值

（7.8)

式中分子的∑，當n是偶數時，為 的縮寫，當n是奇數時為 的縮寫，表7.5

第（6)欄的合計平方后即為分子。分母按原始資料計算。

（4)查附表6得P值，作出推斷結論，按n查得W（n，α)，α是檢驗前指定的檢驗水準，若W>W（n，α)則在α水準上按受H₀，資料來自正態(tài)分布總體，或服從正態(tài)分布；若W≤W（n，α)，則在α水準上拒絕H₀，接受H₁，資料非正態(tài)。

例7.8　測得20例40—49歲健康人右側腓總神經的傳導速度（m/sec)如表7.5第（2)、第（3)欄，試檢驗此資料是否服從正態(tài)分布。

H₀：總體服從正態(tài)分布

H₁：總體為非正態(tài)分布

α=0.05

計算表7.5各欄。

表7.5　W法正態(tài)性檢驗計算表

∑X_i=1004　　∑X_i²=50756.16　　∑(X-x)²=355.36

代入式（7.8)

W=（18.2240)²/355.36=0.9347

查附表6，n=20，α=0.05，W_{（20，0.05)}=0.905

W>W_{（20，0.05)}　P>0.1，在α=0.05水準上接受H₀，該資料服從正態(tài)分布。

2．動差法　又稱矩法。既能用于小樣本資料，亦可用于大樣本資料的正態(tài)性檢驗。本法運用數學上三級動差和四組動差分別組成偏度系數與峰度系數，然后檢驗資料中否服從正態(tài)分布。當頻數分布為正態(tài)時，偏度系數與峰度系數分別等于0，但從正態(tài)分布總體中抽出的隨機樣本，由于存在抽樣誤差，其樣本偏度系數g₁與樣本峰度系數g₂不一定為0，為此，需檢驗g₁、g₂與0的相差是否有顯著性。其檢驗假設為①偏度系數等于O，即頻數分布對稱；②峰度系數等于0，即為正態(tài)峰。

偏度系數g₁、峰度系數g₂的公式見式jfsoft.net.cn（7.9)與（7.11)。當用頻數表資料計算時可用式（7.10)與式（7.12)，式中n為例數，f為頻數。

（7.10)

（7.11)

（7.12)

g₁、g₂的抽樣誤差分別為S_g1與S_g2，見式（7.13)與式（7.14)

(7.13)

(7.14)

假設檢驗用u檢驗，其公式為

u₁=g₁/S_g1　　　　　　　　(7.15)

u₂=g₂/S_g2　　　　　　　　(7.16)

u的顯著性界限為

∣u∣<1.96P>0.05在α=0.05的水準上接受H₀。

1.96≤∣u∣<2.580.05≥P>0.01在α=0.05的水準上拒絕H₀。

∣u∣≥2.58P≤0.01在α=0.01的水準上拒絕H₀。

例7.9　用動差法檢驗例7.8的資料是否服從正態(tài)分布。

1．H₀：頻數分布對稱，H₁：頻數分布不對稱。

2．H₀：頻數分布為正態(tài)峰，H₁：頻數分布不是正態(tài)峰。

α=0.05

∑（X-x )²=355.36，∑（X-x )³=-1032.45

∑（X-x )⁴=20150.4316　n=20

u₂=0.6221/0.9924=0.627　P&gjfsoft.net.cn/pharm/t;0.20

在α=0.05的水準上接受H₀，頻數分布對稱（P>0.05)，并為正態(tài)峰（P>0.20)。因此可認為該資料服從正態(tài)分布。

二、兩方差的齊性檢驗

方差齊性檢驗的方法是以兩方差中較大的方差為分子，較小的方差為分母求一比值（稱為F值)，然后將求得的F值與臨界值比較，看相差是否顯著，現舉一例說明。

例7.10　某單位測定了蓄電池廠工人32號，得尿氨基乙酰丙酸（mg/l)的平均含量為7.06，方差為42.3072，又測定了化工廠工人6名，得平均含量為3.48，方差為0.9047，試比較兩方差的相差是否有顯著意義？

檢驗假設H₀：σ₁²=σ₂²，H₁：σ₁²≠σ₂²α=0.05

定方差較大的一組為第1組，較小者為第2組，求出F值，公式為

F=S₁²/S₂²,S₁>S₂　　�。ü�式7.17)

本例F=42.3072/0.9047=46.76

現將F值與附表7中的F_{.05（ν1,ν2)}比較。該表上端數值是較大均方（即方差)的自由度，用v1表示，左側的數值是較小均方的自由度，用ν₂表示。本例ν₁=n₁-1=32-1=31(表內ν₁縱行沒有31，可查鄰近的數值30)，ν₂=n₂-1=6-1=5,查得F_.05（30,5)=6.23,本例F=46.76>F_.05(30,5),P<0.05,故在α=0.05水準處拒絕H₀，接受H₁。兩方差的差別顯著。